Научные публикации (журналы ВАК)

© Дениченко С. Н., Дениченко Л.В. В.

http://sdenichenko.narod2.ru/ 

В решении задачи показана возможность построение круга, равновеликого по площади квадрату, т. е. решена “кругатура квадрата”, что дало возможность решить “квадратуру круга” с точностью на восемь знаков общепринятого числа π, и выразить длину окружности прямым отрезком.

_______________________________________________________________________

Если расчёт задачи вести на большее количество знаков, то результат величины стороны квадрата будет равен 1,7724538968686925718887244115238… , площадь квадрата при этом равна 3,1415928165250138836954861078059…

РЕШЕНИЕ

РАВНОВЕЛИКОСТЬ КВАДРАТА И ШЕСТЕРЁНКИ

 

Около круга радиуса OR (рис. 1), величину которого принимаем за единицу длины, опишем правильную восьмиконечную звезду Q, образованную из двух равных квадратов, один из которых квадрат ABCD.

SABCD = (AB)2 = (2OR) 2

Каждая сторона одного квадрата отсечёт от каждой прямоугольной вершины другого квадрата по треугольнику, один из которых PCP1.

Отсюда SQ = SABCD + 4SPCP1

Радиусом CR из каждой прямоугольной вершины фигуры Q опишем дуги на её стороны, а точки пересечения сторон и дуг соединим прямыми. В треугольнике PCP1 такой прямой будет KK1. Пересекаясь с диагональю квадрата, прямая KK1 образует точку R1. В фигуре Q каждый выступающий прямоугольный треугольник, равный треугольнику PCP1 , будет делиться на две равновеликие фигуры, треугольник и трапецию, какими являются треугольник KCK1 и трапеция PKK1P1. Если удалить в фигуре Q все восемь одинаково выступающих прямоугольных треугольников, один из которых треугольник KCK1, то получим фигуру T – “шестерёнку” с выступающими трапециями по площади равной площади квадрата ABCD

ST = SQ – 8SKCK1 = (SABCD + 4SPCP1) – 8× ½ SPCP1 =SABCD

ST = SABCD

 

КРУГАТУРА КВАДРАТА

На рис.2, который представляет фрагмент рис.1, центр O соединим с точкой K. Получим треугольник OKR1, в котором проведём медиану ON. Радиусом OR1 проведём дугу, которая отсечёт от медианы ON отрезок MN, а от гипотенузы OK – отрезок LK.

 Приводим расчёт полученных отрезков

OR = 1

OC = OR× √2 = 1 × 1,4142135…

RC = OC – OR = 1,4142135… - 1 = 0,4142135…

KK1 = RC × √2 = 0,4142135…× 1,4142135…= 0,5857863…

RR1 = RC – (KK1/2) = 0,4142135…- 0,2928931…= 0,1213204…

OR1 = OR + RR1 = 1 + 0,1213204…= 1,1213204…

OK2 = OR12 + (KK1/2)2 = 1,1213204...2 + 0,2928931…2 = 1,1589416…2

LK = OK – OR1 = 1,1589416… - 1,1213204… = 0,0376212…

ON2 = OR12 + (KK1/4)2 = 1,1213204…2 + 0,1464465…2 = 1,130843…2

MN = ON – OR1 = 1,130843… 1,1213204… = 0,0095226…

Радиус круга равновеликого квадрату ABCD примем условно за ORX.

Находим его арифметическую величину из равенства площадей условного круга с радиусом ORX и квадрата ABCD

π × ORX2 = (2OR)2 3,1415926…× ORX2 = 4

ORX = 1,1283791…

Условную точку RX расположим произвольно на отрезке КК1 и соединим её пунктирной прямой с центром O. Получим условный прямоугольный треугольник OR1RX. Арифметическую величину условного катета R1RX получим из решения

R1RX2 = ORX2 – OR12 = 1,1283791…2 – 1,1213204…2 = 0,1260164…2

Эту же величину мы получим из пропорции составленную из величин отрезков, ранее полученных геометрически

[(OR+MN) - LK] / (OR+MN) = RR1 / R1RX

R1RX = [(OR+MN) × RR1] / [(OR+MN) – LK] =[(1+0,0095226…)×0,1213204…] / [(1+0,0095226...) –0,0376212…] = = 0,1260164…

Арифметическую величину R1RX выразим геометрическим отрезком. Отрезки MN и LK перенесём на диагональ OC радиусами ON и OK. Отрезок MN отложится от точки R1 до точки E, а отрезок LK от точки R1 до точки F. Затем отрезок OR положим на продолжение диагонали OC так, чтобы началом отрезка OR была точка E, а концом – точка O1. Из точки F построим перпендикуляр к OO1, на котором отложим величину отрезка RR1, от точки F до точки F1. Через точки O1 и F1 проведём прямую до пересечения с прямой KK1 в точке R2. Таким образом, условная величина R1RХ выразилась геометрическим отрезком R1R2. Полученную точку R2 соединим прямой с центром O. Получим радиус OR2 круга равновеликого по площади квадрату ABCD

OR22 = OR12 + R1R22 =1,1213204…2+ 0,1260164…2= 1,1283791 … 2

 КВАДРАТУРА КРУГА

Если принять квадрат равновеликий по площади кругу с радиусом OR за условный квадрат AXBXCXDX, то получим пропорцию

SOR / SOR2 = SAхBхCхDх / SABCD

или

OR / OR2 = ½ AXBX / ½ AB,

которую положим в систему координат (рис. 3), чтобы выразить условную величину ½ AXBX геометрическим отрезком. Левую часть пропорции положим на ось абсцисс, правую – на ось ординат. Точки M (OR2; ½ AB) и O дают луч, на котором абсциссой OR отразится новая точка M1,проекция которой на ось ординат, геометрически отразит ½ стороны искомого квадрата A1B1C1D1, равновеликого по площади кругу радиуса OR

½ A1B1 = (OR× ½ AB) / OR2

½ A1B1 = 1 / 1,1283791…= 0,8862269…

A1B1 = 0,8862269…× 2 = 1,7724538…

Если расчёт задачи вести на большее количество знаков, то сторона квадрата A1B1 будет равна 1,7724538968686925718887244115238… , а SA1B1C1D1 = 3,1415928165250138836954861078059…

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ

Нахождение стороны квадрата A1B1C1D1 даёт возможность выразить L OR – длину окружности круга радиуса OR прямым отрезком. Составим пропорцию

OR / OR2 = L OR / PA1B1C1D1

или

OR / OR2 = ¼ L OR / A1B1,

которую положим в систему координат (рис.4) Левую часть пропорции положим на ось абсцисс, правую – на ось ординат.

 Точки M (OR2; A1B1) и O дают луч, на котором абсциссой OR образуется новая точка M1, проекция которой на ось ординат геометрически отразит прямым отрезком ¼ LOR

¼ LOR = (OR× A1B1) / OR2

¼ LOR = 1,7724538… / 1,1283791…= 1,5707963…

½ LOR = 1,5707963…× 2 = 3,1415926…

LOR = 1,5707963…× 4 = 6,2831852…

Если расчёт задачи вести на большее количество знаков, то ½ LOR будет равна 3,1415928165250138836954861078045…

В свою очередь, ¼ длины окружности круга, радиуса OR2, тоже выражена прямым отрезком A1B1, что видно из Рис.4.

 

Дата публикации: 22 октября 2009 Статья размещена на сайте и находится по адресу:http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/9971.htmlhttp://www.sciteclibrary.ru/eng/catalog/pages/9972.htm